lunes, 16 de noviembre de 2009

ESPIRALES, LAS CURVAS METAFÓRICAS

Estos días hemos estado explicando algunos tipos de espirales sencillas, por lo que me interesaba mostrar algunos casos que por dificultad o falta de tiempo no va a ser posible dar en clase.
La espiral es una curva fascinante, en primer lugar porque es infinita, pero parte de un punto de origen. No es la única curva infinita (pensemos en la hipérbola, o la parábola),pero sí la que más frecuentemente aparece en la naturaleza.
La forma de cualquier espiral está basado en un proceso dual: Se genera a partir de un punto sobre el que gira, al tiempo que se va alejando de él. Este proceso se puede someter a variaciones de posición y magnitud, por lo que se generan las distintas espirales.

Este movimiento ha sido observado por el hombre desde la antigüedad, y se entendió como una metáfora de los procesos cíclicos: El Día/La Noche, Las estaciones, y el devenir de la vida, que partiendo de un origen, va alejándose cada vez más de él (aunque no sea infinita).
Un ejemplo de su importancia como símbolo lo encontramos en la cultura celta, con sus tres espirales entrelazadas.

"Trisquel"celta.


Matemáticamente, los dos tipos de espirales más comunes son la de Arquímedes y la Logarítmica. La primera, descubierta por el matemático siciliano, es una espiral cuyos arcos crecen en progresión artimética, es decir, cada uno aumenta según una suma constante.
Ej. +2:2,,4,6,8,10....

La Espiral de Arquímedes no puede ser trazada con instrumentos de dibujo.

Por su parte, la espiral logarítmica aumenta sus arcos en progresión geométrica, es decir, multiplica, en vez de sumar, por lo que cada arco se distancia más rápidamente del anterior.
La concha logarítmica , el Nautilus.


Ej (x2) 2,4,8,16,32....

La espiral logarítmica es la más frecuente en la naturaleza. El ejemplo más habitual es el de la concha del Nautilus , aunque también se puede aplicar al diseño de una oreja.

En lo pequeño, pero también en lo inmenso: Son espirales logarítmicas las formaciones generadas por los huracanes...Y cada uno de los cuatro brazos en los que está dividida la Vía Láctea, nuestra galaxia.
La Vía Láctea y el ojo de un huracán.

Esta espiral fascinó de tal manera al matemático Jacob Bernouilli que la llamó "Spira Mirabilis", y pidió que la grabaran en su tumba, aunque un cantero poco informado grabó la de Arquímedes, cosas de la ignorancia.
Pero tampoco esta espiral puede ser trazada con el compás y la regla, lo cual molestaba a los estudiosos del arte y de la geometría, hasta que Alberto Durero, en su tratado de geometría llegó a una solución genial: La llamada espiral Aúrea , que sí se puede trazar con compás, y que desde entonces lleva su nombre.

Espiral de Durero. Cada arco es un segmento aúreo del siguiente y del anterior.


Esta espiral está basada en el número áureo (1,618..), del que ya hablaremos en otro post. Cada uno de sus arcos está basado en un rectángulo de proporciones áureas. La medida de los radios cumple la relación de proporción aúrea, es decir, si dividimos el arco mayor entre el menor siguiente, la división nos da el número de oro, o PHI.

Una variante de la misma es usar en vez de rectángulos , triángulos isósceles cuyos lados mantengan la proporción áurea.





Una última espiral interesante, debido a que aparece en las formaciones vegetales con frecuencia, es la llamada espiral hiperbólica.
En este caso la curva empieza en el infinito , para ir enrollándose
sobre sí misma en arcos cada vez más cerrados.

Es la opuesta a la espiral de Arquímedes.












A la presencia de relaciones matemáticas en las plantas se le llama Ley de Ludwig, como estas espirales hiperbólicas en plantas.







Para terminar, os presento una recopilación de imágenes de espirales que han inspirado a los artistas de todas las épocas.

3 comentarios:

jotav dijo...

Sencillamente genial. Un magnífico trabajo.

CURRO dijo...

Manda narices que me quede leyendo sobre espirales embelesado. Muy interesante y amena presentación de un tostonazo de tema. En esto debe consistir eso de hacer el aprendizaje "divertido" y "motivador". Enhorabuena.

Negrevernis dijo...

Qué bonito!!! No imaginaba que había tanto detrás de esto...
Saludos.